Задача на нахождение площади криволинейной трапеции: найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x² и x=y².
Решение
Решаем. Нарисуем рисунок к задаче.
Выразим y из равенства x=y^2, а затем построим графики этих функций.
y = \sqrt{x} и далее \displaystyle S = \int_a^b (y_2 - y_1)dx \\ a = 0, \quad b = 1 \\ \displaystyle S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)dxРешаем интеграл
\displaystyle S = \left( \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} - \frac{1}{3}x^3 \right) \Bigg|_0^1Получаем
\displaystyle S = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \quad (кв.ед.)Ответ: \displaystyle \frac{1}{3} \quad (кв.ед.)
