Задача. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) с правой частью специального вида: \[ y^{\prime\prime} + 3y’ — 4y = 74e^{2x}\sin{x} \].
Решение:
Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) вида:
\[ y^{\prime\prime} + 3y’ — 4y = 74e^{2x}\sin{x} \]
необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти общее решение однородного уравнения:
\[ y^{\prime\prime} + 3y’ — 4y = 0 \] - Найти частное решение неоднородного уравнения.
Шаг 1: Решение однородного уравнения
Рассмотрим характеристическое уравнение:
\[ r^2 + 3r — 4 = 0 \]
Решим его:
\[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]
Получаем корни:
\[ r_1 = 1 \]
\[ r_2 = -4 \]
Общее решение однородного уравнения:
\[ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} \]
Шаг 2: Частное решение неоднородного уравнения
Ищем частное решение уравнения:
\[ y_p = 74e^{2x} \sin{x} \]
Предположим решение в виде:
\[ y_p = e^{2x}(A \sin{x} + B \cos{x}) \]
Найдём производные \(y_p\):
\[ y_p’ = e^{2x}(A \cos{x} — B \sin{x}) + 2e^{2x}(A \sin{x} + B \cos{x})\]
\[ y_p’ = e^{2x}[(A + 2B) \cos{x} + (2A — B) \sin{x}] \]
\[ y_p^{\prime\prime} = e^{2x}[(A + 2B)(-\sin{x}) + (2A — B)(\cos{x})] +\] \[+2e^{2x}[(A + 2B) \cos{x} + (2A — B) \sin{x}] \]
\[ y_p^{\prime\prime} = e^{2x}[(-A — 2B + 4A — 2B)\cos{x} + (-2A + 2B + 4B + 4A)\sin{x}] \] \[ y_p^{\prime\prime} = e^{2x}[(3A — 4B)\cos{x} + (2B + 2A)\sin{x}] \]
Подставим \(y_p\), \(y_p’\), и \(y_p^{\prime\prime}\) в исходное уравнение:
\[
y_p^{\prime\prime} + 3y_p’ — 4y_p = e^{2x}[(3A — 4B)\cos{x} + (2A + 6A + 2B)\sin{x}]+
\]
\[
+ 3e^{2x}[(A + 2B)\cos{x} + (2A — B)\sin{x}] — 4e^{2x}(A \sin{x} + B \cos{x})
\]
Упростим:
\[ e^{2x}[(3A — 4B + 3A + 6B — 4A)\cos{x} + (8A + 4B — 4B)\sin{x}]= \]
\[ = e^{2x}[(2A + 2B)\cos{x} + 8A \sin{x}] \]
Приравниваем к правой части уравнения:
\[ e^{2x}[(2A + 2B)\cos{x} + 8A \sin{x}] = 74e^{2x}\sin{x} \]
Получаем систему уравнений:
\[ 8A = 74 \]
\[ 2A + 2B = 0 \]
Решаем систему:
\[ A = \frac{74}{8} = \frac{37}{4} \]
\[ 2 \left(\frac{37}{4}\right) + 2B = 0 \]
\[ \frac{37}{2} + 2B = 0 \]
\[ 2B = -\frac{37}{2} \]
\[ B = -\frac{37}{4} \]
Таким образом, частное решение:
\[ y_p = e^{2x}\left(\frac{37}{4} \sin{x} — \frac{37}{4} \cos{x}\right) = \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]
Общее решение уравнения
Общее решение будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:
\[ y = y_h + y_p \]
\[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} + \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]
Таким образом, общее решение уравнения:
\[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} + \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]
Ответ: \[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} + \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]
