Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) с правой частью специального вида

Задача. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) с правой частью специального вида: \[ y^{\prime\prime} + 3y’ — 4y = 74e^{2x}\sin{x} \].

Решение:

Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) вида:

\[ y^{\prime\prime} + 3y’ — 4y = 74e^{2x}\sin{x} \]

необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Найти общее решение однородного уравнения:
    \[ y^{\prime\prime} + 3y’ — 4y = 0 \]
  2. Найти частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Рассмотрим характеристическое уравнение:
\[ r^2 + 3r — 4 = 0 \]

Решим его:
\[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]

Получаем корни:
\[ r_1 = 1 \] \[ r_2 = -4 \]

Общее решение однородного уравнения:
\[ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} \]

Шаг 2: Частное решение неоднородного уравнения

Ищем частное решение уравнения:
\[ y_p = 74e^{2x} \sin{x} \]

Предположим решение в виде:
\[ y_p = e^{2x}(A \sin{x} + B \cos{x}) \]

Найдём производные \(y_p\):
\[ y_p’ = e^{2x}(A \cos{x} — B \sin{x}) + 2e^{2x}(A \sin{x} + B \cos{x})\] \[ y_p’ = e^{2x}[(A + 2B) \cos{x} + (2A — B) \sin{x}] \]

\[ y_p^{\prime\prime} = e^{2x}[(A + 2B)(-\sin{x}) + (2A — B)(\cos{x})] +\] \[+2e^{2x}[(A + 2B) \cos{x} + (2A — B) \sin{x}] \]

\[ y_p^{\prime\prime} = e^{2x}[(-A — 2B + 4A — 2B)\cos{x} + (-2A + 2B + 4B + 4A)\sin{x}] \] \[ y_p^{\prime\prime} = e^{2x}[(3A — 4B)\cos{x} + (2B + 2A)\sin{x}] \]

Подставим \(y_p\), \(y_p’\), и \(y_p^{\prime\prime}\) в исходное уравнение:
\[
y_p^{\prime\prime} + 3y_p’ — 4y_p = e^{2x}[(3A — 4B)\cos{x} + (2A + 6A + 2B)\sin{x}]+
\] \[
+ 3e^{2x}[(A + 2B)\cos{x} + (2A — B)\sin{x}] — 4e^{2x}(A \sin{x} + B \cos{x})
\] Упростим:
\[ e^{2x}[(3A — 4B + 3A + 6B — 4A)\cos{x} + (8A + 4B — 4B)\sin{x}]= \] \[ = e^{2x}[(2A + 2B)\cos{x} + 8A \sin{x}] \]

Приравниваем к правой части уравнения:
\[ e^{2x}[(2A + 2B)\cos{x} + 8A \sin{x}] = 74e^{2x}\sin{x} \]

Получаем систему уравнений:
\[ 8A = 74 \] \[ 2A + 2B = 0 \]

Решаем систему:
\[ A = \frac{74}{8} = \frac{37}{4} \] \[ 2 \left(\frac{37}{4}\right) + 2B = 0 \] \[ \frac{37}{2} + 2B = 0 \] \[ 2B = -\frac{37}{2} \] \[ B = -\frac{37}{4} \]

Таким образом, частное решение:
\[ y_p = e^{2x}\left(\frac{37}{4} \sin{x} — \frac{37}{4} \cos{x}\right) = \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]

Общее решение уравнения

Общее решение будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:
\[ y = y_h + y_p \] \[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} + \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]

Таким образом, общее решение уравнения:
\[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} + \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]

Ответ: \[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} + \frac{37}{4} e^{2x} (\sin{x} — \cos{x}) \]

Татьяна Яковлевна Андрющенко

Андрющенко Татьяна Яковлевна - отличник образования, учитель математики высшей категории.
Страница автора.

Оцените автора
Обучение математике
5 1 голос
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии