Дано уравнение (100x)lgx=x3. Требуется найти сумму квадратов его корней.
Решение:
Так как и основание и показатель степени содержат переменную, то решение уравнения начинаем с логарифмирования обеих частей равенства по основанию 10 (у нас ведь десятичный логарифм).
lg(100x)lgx=lgx3; логарифм степени равен произведению показателя этой степени на логарифм основания:
lgx∙lg(100x)=3lgx.
Перенесем 3lgx в левую часть равенства и вынесем lgx за скобки: lgx∙lg(100x)-3lgx =0;
lgx∙(lg(100x)-3)=0. Каждый из множителей может быть равен нулю.
Если lgx=0, то x=100=1.
Если lg(100x)-3=0, то lg(100x)=3, откуда 100x=103;
100x=1000; x=10.
Сумма квадратов корней: 12+102=1+100=101.
Ответ: 101
