Задача. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите скалярное произведение векторов \(2\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Источник: Ященко ЕГЭ 2024 (36 вар)
Решение:
Найдем координаты векторов, определив координаты точек начала и конца каждого вектора на рисунке:
Найдем координаты векторов, определив координаты точек начала и конца каждого вектора на рисунке:
Вектор \(\vec{a}\):
Координаты начала вектора: \((-6, 4)\)
Координаты конца вектора: \((-2, -2)\)
Таким образом, координаты вектора \(\vec{a}\) равны:
\[ \vec{a} = \{ x_2 — x_1; y_2 — y_1 \} = \{ -2 — (-6); -2 — 4 \} = \{ -2 + 6; -2 — 4 \} = \{ 4; -6 \} \]
Вектор \(\vec{b}\):
Координаты начала вектора: \((-1, -4)\)
Координаты конца вектора: \((2, 3)\)
Таким образом, координаты вектора \(\vec{b}\) равны:
\[ \vec{b} = \{ x_2 — x_1; y_2 — y_1 \} = \{ 2 — (-1); 3 — (-4) \} = \{ 2 + 1; 3 + 4 \} = \{ 3; 7 \} \]
Умножим координаты вектора \(\vec{a}\) на 2 и найдем \(2 \vec{a}\):
\[ 2 \vec{a} = 2 \cdot \{ 4; -6 \} = \{ 2 \cdot 4; 2 \cdot -6 \} = \{ 8; -12 \} \]
Найдем скалярное произведение векторов \(2 \vec{a}\) и \(\vec{b}\):
Формула для скалярного произведения векторов:
\[ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \]
Подставим координаты:
\[ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 3 + (-12) \cdot 7 = 24 — 84 = -60 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \(2 \vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(-60\).
Ответ: \(-60\).
