Найти производную сложной функции y=(lnx)^2

Требуется найти производную сложной функции y=(lnx)².

Решение:

Итак, мы имеем степень, значит, берем производную по формуле производной степени.

Далее: основание этой степени — натуральный логарифм, — берем производную  от натурального логарифма и умножаем производную степени на производную натурального логарифма.

Ответ: \displaystyle \frac{2 \ln{x}}{x}

Теория. Производная сложной функции.

Производная сложной функции — это одно из важных понятий математического анализа. Если у нас есть функция, которая представляет собой композицию двух функций, то её производная называется производной сложной функции.

Пусть у нас есть две функции: f(x) и g(x). Функция g(x) является внутренней функцией, а функция f(x) является внешней функцией. Тогда производная сложной функции f(g(x)) обозначается как (f(g(x)))' или f'(g(x)) и вычисляется с помощью цепного правила дифференцирования.

Цепное правило дифференцирования гласит:

Если у нас есть функции u(x) и v(x), где v(x) является внутренней функцией, а u(x) является внешней функцией (то есть u(v(x))), тогда производная сложной функции u(v(x)) вычисляется как произведение производной внешней функции u'(v(x)) и производной внутренней функции v'(x).

Формально выражение для производной сложной функции f(g(x)) выглядит так:

Таким образом, для того чтобы найти производную сложной функции, необходимо сначала вычислить производные внешней и внутренней функций, а затем перемножить их в соответствии с цепным правилом.

Пример:

Пусть у нас есть функция f(x) = (2x + 3)^2. Внутренняя функция в данном случае g(x) = 2x + 3. Тогда для нахождения производной f'(x) мы должны сначала вычислить производную внутренней функции g'(x) = 2, а затем производную внешней функции по внутренней функции f'(g(x)) = 2 \cdot (2x + 3) = 4x + 6. Таким образом, производная исходной функции будет:

Итак, производная функции f(x) = (2x + 3)^2 равна 8x + 12.