Задача. Найдите корень уравнения \(3^{\log_{27}(8x + 4)} = 4\).
Решение:
Прежде всего, заметим, что основание логарифма 27 можно выразить через степень тройки: \(27 = 3^3\). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
\[
3^{\log_{3^3}(8x + 4)} = 4
\]
Применим свойство логарифма и степени, учитывая, что \(\log_{27}(8x + 4) = \frac{1}{3} \log_3 (8x + 4)\). Тогда уравнение примет вид:
\[
3^{\frac{1}{3} \log_3 (8x + 4)} = 4
\]
Используем свойство степеней:
\[
3^{\log_3 (8x + 4)^{\frac{1}{3}}} = 4
\]
Упрощаем выражение слева:
\[
(8x + 4)^{\frac{1}{3}} = 4
\]
Возведём обе части в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня:
\[
(8x + 4) = 4^3
\]
Упростим правую часть:
\[
8x + 4 = 64
\]
Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
\[
8x = 60
\]
Теперь найдём \(x\), поделив обе стороны на 8:
\[
x = \frac{60}{8} = 7,5
\]
Ответ: \(7,5\).
