Первая труба пропускает на 4 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 621 литров она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 486 литров?
Решение:
Пусть пропускная способность второй трубы составляет \( x \) литров воды в минуту, тогда первая труба пропускает \( x — 4 \) литра в минуту. Время заполнения резервуара объемом 486 литров второй трубой равно \(\frac{486}{x}\) минут, а время заполнения резервуара объемом 621 литр первой трубой — \(\frac{621}{x — 4}\) минут. Зная, что первая труба заполняет свой резервуар на 9 минут дольше, чем вторая, составим уравнение:
\[
\frac{621}{x — 4} — \frac{486}{x} = 9
\]
Приведем дроби к общему знаменателю и упростим уравнение:
\[
\frac{621 \cdot x — 486 \cdot (x — 4)}{x(x — 4)} = 9
\]
Раскроем скобки и упростим числитель:
\[
621x — 486x + 1944 = 135x + 1944
\]
Подставим числитель в уравнение:
\[
\frac{135x + 1944}{x(x — 4)} = 9
\]
Перемножим крест-накрест, чтобы избавиться от знаменателей:
\[
135x + 1944 = 9x(x — 4)
\]
Раскроем скобки:
\[
135x + 1944 = 9x^2 — 36x
\]
Перенесем все члены в одну часть уравнения:
\[
9x^2 — 36x — 135x — 1944 = 0
\]
Упростим уравнение:
\[
9x^2 — 171x — 1944 = 0
\]
Разделим обе части уравнения на 9:
\[
x^2 — 19x — 216 = 0
\]
Найдем дискриминант \( D \):
\[
D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 361 + 864 = 1225 = 35^2
\]
Вычислим корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{19 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{54}{2} = 27
\]
\[
x_2 = \frac{19 — 35}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \quad (\text{не подходит, так как отрицательный корень не имеет физического смысла})
\]
Следовательно, вторая труба пропускает 27 литров воды в минуту. Найдем пропускную способность первой трубы:
\[
x — 4 = 27 — 4 = 23 \text{ л/мин}
\]
Ответ: 23 литра в минуту.
