Решить уравнение с модулем: x^2-6x+|x-4|+8=0.
Решение:
Для решения данного уравнения, нужно рассмотреть два случая раскрытия модуля:
Когда выражение |x-4| равно x-4, тогда имеем:
x^2 - 6x + (x-4) + 8 = 0 \\ x^2 - 5x + 4 + 8 = 0 \\ x^2 - 5x + 12 = 0
Когда выражение |x-4| равно -(x-4), тогда модуль изменяет знак:
x^2 - 6x - (x-4) + 8 = 0 \\ x^2 - 6x - x + 4 + 8 = 0 \\ x^2 - 7x + 12 = 0
Теперь решим оба уравнения:
- x^2 - 5x + 12 = 0
Для решения квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac, где уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0 В данном случае a = 1, \, b = -5, \, c = 12. Находим дискриминант:
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23 Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и решения не существует. - x^2 - 7x + 12 = 0. Теперь решим это уравнение, используя формулу дискриминанта:
D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1. Так как
D > 0, значит, у уравнения есть два действительных корня:
x = (-b + √D) / 2a \, и \, x = (-b - √D) / 2a \\ x_1 = (7 + √1) / 2 = (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4 \\ x_2 = (7 - √1) / 2 = (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3
Таким образом, уравнение имеет два корня: x_1 = 4 и x_2 = 3.
Ответ: 3, 4.
