Решите уравнение 3-4cos^2 x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 3π]

Решите уравнение 3-4 \cos^2{x}=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 3π].

Решение уравнения 3-4cos²x=0. Первый способ.

Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos²α. Получаем равносильное уравнение:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

Ответ: x = \pm π/6 + πn, где n — целое число, 9 \pi

Найдем решение уравнения 3 — 4cos^2 x = 0. Второй способ.

Решим уравнение 3 - 4 \cos^2 x = 0 и найдем сумму его корней в промежутке [0; 3π].

Для решения уравнения 3 - 4 \cos^2 x = 0, мы будем использовать тригонометрическую идентичность \cos^2 x = 1 - \sin^2 x.

Заменим \cos^2 x в исходном уравнении:
3 - 4(1 - \sin^2 {x} ) = 0

Упростим уравнение:
3 - 4 + 4 \sin^2 {x} = 0 \\ 4\sin^2 {x} - 1 =

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \sin^2 {x} :

4 \sin^2 {x} = 1 \\ \sin^2 {x} = 1/4

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

\sin{x} = ±√(1/4) \sin{x} = ±1/2

Так как \sin {x} равен ±1/2, угол x может быть равным следующим значениям:

Если \sin{x}= 1/2, то корни будут:

x = π/6 + 2πk, где k — целое число

или

x = 5π/6 + 2πk, где k — целое число

Если \sin{x}= -1/2, то корни будут:

x = -π/6 + 2πk, где k — целое число

или

x = -5π/6 + 2πk, где k — целое числою

Объединяя полученные корни, можно записать, что

x = \pm π/6 + πk, где k — целое число

Таким образом, решениями уравнения 3 - 4\cos^2 {x} = 0 являются значения x = \pm π/6 + πk, где k — целое число.

Находим сумму корней

У нас есть два набора решений уравнения 3 - 4 \cos^2 {x} = 0, которые находятся на интервале [0; 3π]:

• x = π/6 + πk, где k — целое число
• x = -π/6 + πk, где k — целое число

Нам нужно найти сумму всех корней, принадлежащих данному интервалу. Для этого мы можем перебрать значения k и найти соответствующие значения x, пока они находятся в интервале [0; 3π].

Когда k = 0, значения x для первого набора решений:

x = π/6 и x = -π/6

Когда k = 1, значения x для первого набора решений:

x = π/6 + π = 7π/6 и x = -π/6 + π = 5π/6

Когда k = 2, значения x для второго набора решений:

x = π/6 + 2π = 13π/6 и x = -π/6 + 2π = 11π/6

Когда k = 3, значения x для второго набора решений:

x = π/6 + 3π = 19π/6 и x = -π/6 + 3π = 17π/6

Мы видим, что значения x = π/6, 5π/6, 7π/6, 13π/6, 11π/6 и 17π/6 принадлежат интервалу [0; 3π].

Теперь мы можем найти сумму этих корней:

π/6 + 5π/6 + 7π/6 + 11π/6 + 13π/6 + 17π/6 = 54π/6 = 9π

Таким образом, сумма корней, принадлежащих интервалу [0; 3π], равна 9π.

Ответ: x = \pm π/6 + πk, где k — целое число; 9π

Вы можете самостоятельно выбрать каким способом вам удобнее решать.