Задача. а) Решите уравнение sinx·cos2x – √3cos2x + sinx = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\).
Решение:
а) Рассмотрим уравнение:
\[
\sin{x} \cdot \cos{2x} — \sqrt{3} \cdot \cos^2{x} + \sin{x} = 0
\]
Раскроем \(\cos{2x}\) с помощью тождества \(\cos{2x} = 2\cos^2{x} — 1\):
\[
\sin{x} \cdot (2\cos^2{x} — 1) — \sqrt{3} \cdot \cos^2{x} + \sin{x} = 0
\]
Раскроем скобки и сгруппируем:
\[
2\sin{x} \cdot \cos^2{x} — \sin{x} — \sqrt{3} \cdot \cos^2{x} + \sin{x} = 0
\]
Приведём подобные:
\[
2\sin{x} \cdot \cos^2{x} — \sqrt{3} \cdot \cos^2{x} = 0
\]
Вынесем \(\cos^2{x}\) за скобку:
\[
\cos^2{x} \cdot (2\sin{x} — \sqrt{3}) = 0
\]
Рассмотрим два случая:
1. \(\cos^2{x} = 0\)
Это возможно, если \(\cos{x} = 0\). Тогда:
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}
\]
2. \(2\sin{x} — \sqrt{3} = 0\)
Решим относительно \(\sin{x}\):
\[
\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Значения \(\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) достигаются при:
\[
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \, \text{или} \, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, k, m \in \mathbb{Z}
\]
Итак, решения уравнения:
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}
\]
Таким образом, окончательное решение:
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi n \, \text{и} \, x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \, \text{и} \, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, n, k, m \in \mathbb{Z}
\]
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\):
Вот переписанное выражение:
\( x_1 = \frac{5\pi}{2} \)
\( x_2 = 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi \cdot 3 + 2\pi \cdot 1}{3} = \frac{8\pi}{3} \)
\( x_3 = 4\pi — \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi \cdot 2 — \pi}{2} = \frac{7\pi}{2} \)
Ответ:
a) \(\frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}\)
б) \(\frac{5\pi}{2}, \frac{8\pi}{3}, \frac{7\pi}{2}\)
