Задача. В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого годя необходимо оплатить одним платежом часть долга
– в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?
Решение:
Исходная сумма кредита составляет 1500 тысяч рублей. Процентная ставка равна 15%, что в десятичном выражении составляет 0,15. Величина, на которую уменьшается долг в первые 5 лет, обозначена как \(x\), а на последующие 5 лет — как \(y\). Долг на начальном этапе составляет \(5x + 5y\), что равно 1500 тысяч рублей. Общая сумма выплат составляет 2400 тысяч рублей.
График выплат по годам представлен в таблице, где указаны начальный долг, начисленные проценты, суммы платежей и конечный долг на каждый год. В первый год долг составляет \(5x + 5y\). Во второй год начисляются проценты, после чего долг уменьшается на величину \(x\) плюс проценты. Таким образом, долг к концу второго года равен \(4x + 5y\). Этот процесс продолжается до тех пор, пока в 2032 году не остается \(5y\), а к 2037 году долг полностью погашен.
| Год | Долг начальный | % (январь) | Платёж (x или y + %) (февраль – июнь) |
Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль) |
| 2027 | 5x + 5y | – | – | – |
| 2028 | 5x + 5y | 5x + 5y + 0,15(5x + 5y) | x + 0,15(5x + 5y) | 5x + 5y + 0,15(5x + 5y) – (x + 0,15(5x + 5y)) = 4x + 5y |
| 2029 | 4x + 5y | 4x + 5y + 0,15(4x + 5y) | x + 0,15(4x + 5y) | 4x + 5y + 0,15(4x + 5y) – (x + 0,15(4x + 5y)) = 3x + 5y |
| 2030 | 3x + 5y | 3x + 5y + 0,15(3x + 5y) | x + 0,15(3x + 5y) | 3x + 5y + 0,15(3x + 5y) – (x + 0,15(3x + 5y)) = 2x + 5y |
| 2031 | 2x + 5y | 2x + 5y + 0,15(2x + 5y) | x + 0,15(2x + 5y) | 2x + 5y + 0,15(2x + 5y) – (x + 0,15(2x + 5y)) = x + 5y |
| 2032 | x + 5y | x + 5y + 0,15(x + 5y) | x + 0,15(x + 5y) | x + 5y + 0,15(x + 5y) – (x + 0,15(x + 5y)) = 5y |
| 2033 | 5y | 5y + 0,15·5y | y + 0,15·5y | 5y + 0,15·5y – (y + 0,15·5y) = 4y |
| 2034 | 4y | 4y + 0,15·4y | y + 0,15·4y | 4y + 0,15·4y – (y + 0,15·4y) = 3y |
| 2035 | 3y | 3y + 0,15·3y | y + 0,15·3y | 3y + 0,15·3y – (y + 0,15·3y) = 2y |
| 2036 | 2y | 2y + 0,15·2y | y + 0,15·2y | 2y + 0,15·2y – (y + 0,15·2y) = y |
| 2037 | y | y + 0,15·y | y + 0,15·y | y + 0,15·y – (y + 0,15·y) = 0 |
Складывая все платежи за этот период, получаем выражение, содержащее сумму уменьшения долга и начисленных процентов. По условию задачи, общая сумма выплат составляет 2400 тысяч рублей, что позволяет нам составить уравнение для нахождения значений \(x\) и \(y\). Решив систему уравнений, получаем, что \(y\) равно 60 тысяч рублей, а \(x\) — 240 тысяч рублей.
Таким образом, сумма платежа за 2029 год составляет 429 тысяч рублей. Это значение включает в себя основной долг, уменьшенный на 240 тысяч рублей, и начисленные проценты.
Ответ: 429 тыс. руб.
