Задача: в треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(BC = 3\), \(\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). Найдите \(AC\).
Решение:
Для начала воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABC\) и найдем \(AB\):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = AC^2 + 3^2 = AC^2 + 9 \]
Соответственно, \(AB\) выражается как:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + 9} \]
Косинус угла \(A\) определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\[ \cos \angle A = \frac{AC}{AB} \]
Зная, что \(\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}\), подставим это значение в уравнение:
\[ \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + 9}} \]
Возведем обе части в квадрат для упрощения уравнения:
\[ \left( \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)^2 = \left( \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + 9}} \right)^2 \]
Получаем:
\[ \frac{20}{25} = \frac{AC^2}{AC^2 + 9} \]
Это можно упростить до:
\[ \frac{4}{5} = \frac{AC^2}{AC^2 + 9} \]
Перемножим обе части на \((AC^2 + 9)\), чтобы избавиться от дроби:
\[ 4 \cdot (AC^2 + 9) = 5AC^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 4AC^2 + 36 = 5AC^2 \]
Перенесем все слагаемые с \(AC^2\) в одну часть уравнения:
\[ 36 = 5AC^2 — 4AC^2 \]
Таким образом, получаем:
\[ 36 = AC^2 \]
Из этого следует:
\[ AC = \sqrt{36} = 6 \]
Ответ: \(AC = 6\).
