Задача. Определить точки пересечения двух окружностей, если уравнение одной из них x^2+y^2=9, а центр другой, с радиусом, равным 5 см, находится в точке (4; 0).
Решение:
Для определения точек пересечения двух окружностей, необходимо решить систему уравнений, где первое уравнение задает окружность с уравнением x^2 + y^2 = 9, а второе уравнение задает окружность с центром в точке (4, 0) и радиусом 5.
Уравнение второй окружности будет иметь вид:
(x - 4)^2 + y^2 = 5^2 \\ x^2 - 8x + 16 + y^2 = 25 \\ x^2 + y^2 - 8x = 9Теперь решим систему уравнений, объединив уравнения обеих окружностей:
Система уравнений:
\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 + y^2 - 8x = 9 \end{cases}Вычтем уравнение 1) из уравнения 2):
(x^2 + y^2 - 8x) - (x^2 + y^2) = 9 - 9Упростим:
x^2 + y^2 - 8x - x^2 - y^2 = 0Термины x^2 и y^2 сокращаются, получаем:
-8x = 0Теперь найдем значение x:
x = 0Теперь, чтобы найти значение y, подставим x = 0 в уравнение 1):
0^2 + y^2 = 9 \\ y^2 = 9 \\ y = ±√9 \\ y = ±3Итак, точки пересечения двух окружностей имеют координаты (0, 3) и (0, -3).
Ответ: точки (0, 3) и (0, -3).
