Дано выражение cos(30°+α)-cos(30°-α). Необходимо упростить его.
Решение:
Мы можем использовать формулу для разности косинусов:
\cos(A) - \cos(B) = -2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)В вашем случае A = 30° + \alpha и B = 30° - \alpha:
\cos(30° + \alpha) - \cos(30° - \alpha) = -2 \cdot \sin\left(\frac{(30° + \alpha) + (30° - \alpha)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(30° + \alpha) - (30° - \alpha)}{2}\right) \\ = -2 \cdot \sin(30°) \cdot \sin(\alpha)Поскольку \sin(30°) = \frac{1}{2}, получаем:
= -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha)Таким образом, упрощенное выражение равно -\sin(\alpha).
![Известен четвертый член геометрической прогрессии [katex]c_4=24[/katex] и знаменатель геометрической прогрессии [katex]q=-2[/katex]. Требуется найти первый член этой геометрической прогрессии.](https://test-training.ru/wp-content/uploads/2023/07/izvesten-chetvertyj-chlen-geometricheskoj-progressii-c_424-i-znamenatel-335x220.jpg)
Давайте рассмотрим выражение шаг за шагом, используя тригонометрические тождества:
Используя тригонометрическое тождество для разности косинусов:
cos(A — B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)
Мы можем применить это тождество к первому члену выражения:
cos(30° + α) = cos(30°) * cos(α) — sin(30°) * sin(α)
Аналогично для второго члена:
cos(30° — α) = cos(30°) * cos(α) + sin(30°) * sin(α)
Теперь подставим значения для cos(30°) и sin(30°), которые равны √3 / 2 и 1 / 2 соответственно:
cos(30° + α) = (√3 / 2) * cos(α) — (1 / 2) * sin(α)
cos(30° — α) = (√3 / 2) * cos(α) + (1 / 2) * sin(α)
Теперь вычитаем второе выражение из первого:
cos(30° + α) — cos(30° — α) = (√3 / 2) * cos(α) — (1 / 2) * sin(α) — [(√3 / 2) * cos(α) + (1 / 2) * sin(α)]
Сокращаем подобные члены:
cos(30° + α) — cos(30° — α) = (√3 / 2 — √3 / 2) * cos(α) — (1 / 2 + 1 / 2) * sin(α)
cos(30° + α) — cos(30° — α) = 0 * cos(α) — 1 * sin(α)
cos(30° + α) — cos(30° — α) = -sin(α)
Итак, ответ: cos(30° + α) — cos(30° — α) = -sin(α).